Estatística

UniVESPComputaçãoEstatísticaNotas de aula 2021-06-05

Estatística

Associa dados dos problemas gerando informações relevantes para o estabelecimento de conclusões capazes de viabilizar a tomada de decisões em ambientes de incertezas e variações.

A estatística trata então dos processos que apresentam um grau de variabilidade em seu comportamento ou nos seus resultados, buscando responder as seguintes questões:

  • Que tipo de informações são necessárias?
  • Qual a quantidade de informações é suficiente?
  • Como processar estas informações?

Divide-se em três áres principais:

  • Probabilidade;
  • Estatística descritiva;
  • Estatística indutiva.

Probabilidade

Estudo da eleatoriedade e incerteza, medida de informação sobre a ocorrência de um evento.

  Definição  
Frequencialista   Clássica
\(p = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{m}{n}\)   \(P = \frac{M}{N}\)
     
Onde: p, P
m, M
n, N		 Probabilidade
Núm. de Sucessos
Núm. de Possibilidades

Espaço Amostral (S)

Conjunto ou coleção definida de objetos ou itens, com todos os possíveis resultados.

Exemplos:

  • Lançamento de uma moeda: \(S = \{ C, K \}\)
  • Lançamento de um dado: \(S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\)
  • Lançamento de duas moedas: \(S = \{ (C,C), (C,K), (K,C), (K,K) \}\)

Eventos Aleatórios (E)

Qualquer subconjunto de um espaço amostral.

Resultado possível em experimentos aleatórios e que não é previsível.

Propriedades
\(0 \le P(E) \le 1\)
\(P(S) = 1\)
Lançamentos moeda dado
Espaço Amostral
Evento Aleatório
Probabilidade(Evento)		 \(S = \{ C,K \}\)
\(E = K\)
\(P(E) = \frac{1}{2}\)		 \(S = \{ 1,2,3,4,5,6 \}\)
\(E = 3\)
\(P(E) = \frac{1}{6}\)

Evento Complementar

Evento Equiprovável

Para um dado honesto:

\[P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6)\]

Eventos Mutuamente Excludentes

\[A \Rightarrow \neg B\] \[B \Rightarrow \neg A\]

Operações Entre Eventos

União: \(A \cup B\)

Intersecção: \(A \cap B\)

Axiomas da probabilidade

  1. Se \(\varnothing\) é o conjunto vazio (evento impossível), então: \(P(0) = 0\) \(P(A \cup B) = 0\)
  2. Se \(\overline{A}\) é o complemento do evento \(A\) então: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
  3. Se \(A\) e \(B\) são dois eventos quaiquer, então:
    1. \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
    2. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) (A e B mutuamente excludentes)
    3. \[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\]

Teoria da Contagem

Combinação

\[C_{n,p} = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}\]

n: número de elementos do conjunto amostral

p: número de elementos escolhidos

C: número de combinações possíveis

Ordem dos elementos não faz diferença.

Arranjos

\[A_{r,p} = \frac{r!}{(r-p)!}\]

r: número de elementos do conjunto amostral

p: número de elementos escolhidos

A: número de combinações possíveis

Ordem dos elementos faz diferença.

Teoremas da probalidade

Probabilidade condicional

  • Dados dois eventos possíveis: A e B
  • Ocorreo evento B
  • B é o novo espaço amostral
  • Assim:
    • \[P( A | B ) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Teorema do produto

\[P(A \cap B) = P(B).P(A|B)\] \[P(A \cap B) = P(A).P(B|A)\]

Eventos independentes

O evento B não altera a probabilidade de ocorrer A.

\[P(A|B) = P(A)\]

Evento intersecção

\[P(A \cap B) = P(A).P(B)\]

Teorema de Bayes

\[P(B) = \sum\limits_{i=1}^n P(A_i \cap B) = \sum\limits_{i=1}^n P(A_i).P(B|A_i)\]

Variáveis aleatórias

Atribuir descrição numérica aos resultados dos experimentos.

  • Variável aleatória discreta
    • \[P(X=X_0) \ge 0\]
    • \[\sum P(X=X_0) = 1\]
  • Variável aleatória contínua
    • Uso de escala contínua.

Proposições das distribuições de probabilidade

Esperança matemática (Média)

\(\mu = E(x) = \sum X_i.p(X_i)\) \(\mu = E(X) = \sum\limits_{-\infty}^{+\infty} x.f(x) dx\)

Variância VAR(X) e desvio padrão

Grau de dispersão de probabilidade em torno da média.

\[\sigma^2 = \sum (X_i - \mu)^2.p(X_i) = E[(X-\mu)²]\] \[\sigma^2 = [\sum x^2.p(X)] - \mu^2 = E(X^2)-[E(X)]^2\]

Propriedades da média

\(E(k) = k\) , se k é constante

\[E(X.k) = k.E(X)\] \[E(X+Y) = E(X) + E(Y)\] \[E(X-Y) = E(X) - E(Y)\]

\(E(X.Y) = E(X).E(Y)\), X e Y independentes

Propriedades da variância

\(\sigma^2(k) = 0\), se k é constante

\[\sigma^2(X.k) = k^2.\sigma^2(X)\]

\(\sigma^2(X+Y) = \sigma^2(X)+\sigma^2(Y)\), X e Y independentes

\(\sigma^2(X-Y) = \sigma^2(X)+\sigma^2(Y)\), X e Y independentes

\[Desvio padrão = \sqrt{variância}\]

Mediana

Valor numérico que separa o conjunto pela metade.

Moda

Valor numérico de maior frequência.

Distribuição de Bernoulli

  • Experimento aleatório;
  • Realizado repetidas vezes (tentativas);
  • Mantidas as condições;

  • Resultado: sucesso ou fracasso.

  • P(sucesso) = p
  • P(fracasso) = q = 1 - p
  • \[P = q^k.q^{1-k}, k \in \{0,1\}\]

Distribuição Binomial

  • N provas independentes;
  • Sucesso ou fracasso (Bernoulli);

  • P(sucesso) = P \Rightarrow const

    \[P(X=k) = \binom{n}{k}.p^k.q^{n-k}\] \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

    \(\mu = n.p\) (Média)

    \(\sigma²(x) = n.p.q\) (Variância)

Distribuição de Poisson

  • Hipóteses:
    • Eventos definidos em intervalos não sobrepostos são independentes;
    • \(\lambda\) é constante no intervalo estudado.
\[\lim_{n \rightarrow \infty} Binomial = Poisson\]

Simon Denis Poisson (1781 - 1840)

\[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^k}{k!}\]
  • Exemplo:
    • Semáforo:
      • \(\lambda = 4\) veículos por minuto;
      • \(t = 2 min.\) intervalo de tempo;
      • \[P(X=7) = ?\]
      • \(\mu = \lambda.t = 4.2 = 8\) (média)
      • \[P(X=7) = \frac{e^{4.2}.(4.2)^7}{7!} = 0,1396\]

Distribuição Normal (Gaussiana)

Johann Carl Friedrich Gauss(1777-1855)

Teorema do limite central

A soma de infinitas variáveis independentes segue uma distribuição normal.

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} . e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\] \[-\infty < x < +\infty\]
  • \(\mu\): média
  • \(\sigma\): desvio padrão

Tabela Normal Reduzida

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]
  • \(X\): Valor de interesse;
  • \(\mu\): Média;
  • \(\sigma\): desvio padrão
  • \[E(Z) = 0\]
  • \[\sigma^2(Z) = 1\]

Amostragem

  • Método estatístico
    • Coleta;
    • Organização;
    • Apresentação;
    • Análise;
    • Interpretação de dados experimentais.
  • Objetivo:
    • Estudo dos parâmetros de uma população.
  • Tipos:
    • Censo: Todos os elementos da população.
    • Amostragam: seleção representativa de alguns elementos da população - pesquisa em uma amostra.
      • Aleatória simples;
      • Aleatória estratificada;
      • por conglomerado;
      • sustemática.

Métudo estatístico

  • Definição do problema;
  • Planejamento da pesquisa;
  • Coleta dos dados;
  • Apuração dos dados;
  • Apresentação dos dados;
  • Análise e interpretação dos dados: Inferência estatística.

Amostragem Aleatória Simples

\[{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Elementos de uma distribuição de frequência

\[K = \sqrt{N}\]

Onde: K: número de classes N: número de elementos numa amostra.

  • Amplitude:
    • diferença entre o menor e o maior valor;
  • Classes:
    • Intervalos de variação de variável;
  • Amplitude de um intervalo de classe H: \(H = \frac{A}{K}\)
  • Verificação:
    • \[P_o + K.H > P_N\]
    • Onde:
      • \(P_0\): Menor elemento;
      • \(K\): Número de classes;
      • \(H\): Amplitude de classe;
      • \(P_N\): Manior elemento.

Medidas de posição e dispersão

  • Estatística descritiva
    • Tabelas;
    • Distribuição de frequência;
    • Histograma.
  • Medias de posição:
    • Localizar a maior concentração de valores de uma distribuição;
    • Sintetizar o comportamento do conjunto do qual ele é originário;
    • Possibilitar comparações entre séries de dados.
  • Média aritmética simples
\[\overline x = \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n}\]
  • Média aritmética ponderada
\[\overline x_p = \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i p_i}{\sum\limits_{i=1}^n p i}\]

Onde: \(X_i\): valor observado; \(n\): número de observações; \(p\): ponderação.

  • Moda (Mo)
    • Valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados.
      • Multimodal;
      • Amodal.
  • Mediana (\(M_d\))
    • Separatriz: divide o conjunto em dus partes iguais, com o mesmo número de elementos.
    • Centro da série estatística organizada.

Medidas de dispersão

  • Variabilidade
  • Amplitude total
  • Variância (\(S^2\))
    • População: \(S^2 = \Sigma_{i=1}^N \frac{(x_i-\overline x)^2}{N}\)
    • Amostra: \(S^2 = \Sigma_{i=1}^n \frac{(x_i-\overline x)^2}{n-1}\)

Inferência estatística

Conhecer, de maneira aproximada, as características de uma grande população a partir de informações obtidas de uma amostra.

  • Grau de incerteza ou risco.

  • População: todas observações possíveis.
  • Amostra: conjunto de dados que inclui uma parte significativa dessas observações.
  • Parâmetro

  • Estimador

  • População \(\rightarrow\) Amostra \(\rightarrow\) Estimadores \(\rightarrow\) Parâmetros.
    • Parâmetros.
Parâmetros População Amostra
Média \(\mu\) \(\overline x\)
Desvio padrão \(\sigma\) \(S\)
Proporção \(\pi\) \(p\)

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