Resistência equivalente total e 1ª Lei de Ohm

SENAIEletricidadeReq1ª Lei de Ohm 2020-05-26

Habilidades e Competências

• Calcular grandezas elétricas em circuitos elétricos;
• Calcular a resistência equivalente total de circuitos elétricos.

Desafio

Dado o circuito da Figura 1, considerar: R1 = 330 $\Omega$, R2 = 150 $\Omega$, R3 = 270 $\Omega$,R4 = 400 $\Omega$ e R5 = 100 $\Omega$.

Identificar:

• os nós do circuito;
• a configuração de ligação dos componentes: série ou paralelo;
• Calcular a resistência equivalente em cada ramo;
• Simplificar o circuito ao redesenhá-lo;
• Repetir o processo até obter a resistência equivalente total.

Figura 1: Circuito elétrico misto

Revisitando Conhecimentos

A identificação de configurações e características do circuito é fundamental para a sua análise.

Entre os principais pontos estão:

• A identificação da(s) fonte(s) e da(s) carga(s) do circuito;

• A identificação dos nós;

• A identificação dos ramos;

• As ligações em série e em paralelo.

Lei de Ohm

A primeira lei de Ohm é a relação entre as três grandezas elétricas básicas: tensão, resistência e corrente.

Considerando o circuito da Figura 2:

* Figura 2: Circuito elétrico Simples*

• Vcc: Fonte de tensão ajustável, em Volts[V];
• I: Intensidade de corrente elétrica, em Amperes [A];
• Rt: Resistência elétrica em Ohms [ $\Omega$ ].

Georg Simon Ohm percebeu que a relação entre tensão e corrente em um circuito resistivo é constante, ou seja, para um dado circuito, com uma resistência fixa, ao variar a tensão aplicada aos seus terminais a intensidade da corrente que percorre o circuito varia de forma proporcional.

Ao tomar nota de alguns pontos de medição, pode-se desenhar um gráfico como na Figura 3, e perceber que os pontos anotados formam uma reta. Isso ocorre pela proporcionalidade entre a variável manipulada, aquela que é ajustada por quem conduz a experiência, e a variável controlada, que é aquela que depende de outro parâmetro do sistema, e que não é manipulada diretamente.

Figura 3: Grafico $V_{CC}$ x $I$

Estão destacados no gráfico três pontos, A, B e C, e pode-se perceber que o ponto B está localizado em uma tensão que é o dobro da tensão do ponto A, por consequência, a intensidade da corrente produzida também é o dobro. O mesmo ocorre no ponto C em relação ao ponto B.

A representação matemática para uma reta, é uma equação do primeiro grau, assim a equação que representa a reta do gráfico da Figura 3 pode ser obtida da seguinte forma:

Escolha dois pontos quaisquer da reta, A e B, A e C, B e C, ou ainda algum deles com a origem (0,0).

Pontos escolhidos: B e (0,0).

Ao projetar o ponto B no eixo da tensão, temos um triângulo retângulo formado pelos pontos: B, (4,0) e (0,0).

Utilizando a relação $\frac{\Delta I}{\Delta V}$, temos o coeficiente algular da reta $G$.

\[\begin{eqnarray} \frac{\Delta I}{\Delta V} & = & G \nonumber \\ \Delta I & = & G .\Delta V \nonumber \\ I - I_0 & = & G . (V - V_0) \end{eqnarray}\]

Como a origem foi escolhida como um dos pontos do triângulo, o $\Delta I$ será o próprio valor no ponto $B$, ou seja, $I_0$ e $V_0$ valem $0$.

\(\begin{eqnarray} \label{eqn:leiOhmG} I & = & G . V \end{eqnarray}\) Analogamente à equação da reta $f(x) = ax + b$ temos que:

• $I$ é o resultado da função, é a variável dependente pois varia em função da variável independete;

• $V$ é a variável independente, é manipulada por quem conduz o experimento, ajustando o valor da fonte para um valor desejado;

• $G$ é coeficiente angular, valor que exprime o quanto a reta está inclinada.

O coeficiente angular G mostra que, para um ânglo de inclinação pequeno, uma variação de tensão alta produz uma variação de corrente é pequena, ou seja, a condução é ruim. Com um ângulo de inclinação grande, uma variação de tensão pequena produz uma grande variação de corrente, ou seja, uma ótima condução.

O coeficiente angular G é denominado como condutância, e sua unidade é o Siemens[S].

A condutância é o inverso da resistência, ou seja, dois aspectos de um mesmo fenômeno. \(\begin{eqnarray} \label{eqn:GinvR} G & = & \frac{1}{R} \end{eqnarray}\)

Substituindo ($G = \frac{1}{R}$) em ($I = G . V$), temos a Primeira Lei de OHM. \(\begin{eqnarray} \label{eqn:leiOhmR} I & = & \frac{1}{R} . V \end{eqnarray}\)

Associação de Resistores em Série

Dado um ramo qualquer de um circuito resistivo, sabe-se que todos os elementos nele contidos estão associados em série, pois, aplicada uma diferença de potencial às suas extremidades, a corrente que percorre esse ramo é a mesma em todos os componentes, havendo apenas um caminho entre os nós conectados às extremidades.

Ao aplicar uma diferença de pontencial não nula entre os nós $A$ e $B$, haverá uma corrente elétrica entre esses pontos. O valor da intensidade dessa corrente depende, além da própria tensão, da resistência que o ramo apresenta, como diz a 1ª Lei de Ohm.

Todo elemento inserido em série no ramo, acrescenta resistência a ele. Todo ramo com mais do que um resistor, pode ser substituído por um ramo equivalente, sem que haja mudança dos parâmetros elétricos do circuito, desde que não se altere a resistência equivalente do ramo, como mostrado na Figura 4.

Figura 4: Ramo entre nós $A$ e $B$

A Figura 4(a) mostra o ramo com dois resistores, que formam a resistência total do ramo, que é ilustrado na Figura 4(b) com a resistência equivalente. Pode-se representar a resistência equivalente em um ramo da seguinte forma: \(\begin{eqnarray} R_1 + R_2 = R_{eq} \end{eqnarray}\) Para uma quantidade de resistores no ramo maior do que dois, a resistência equivalente é calculada da mesma forma: \(\begin{eqnarray} R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{eq} \end{eqnarray}\)

Associação de Resistores em Paralelo

A intensidade da corrente que circula em um ramo, depende da tensão aplicada aos seus nós e da resistência total do ramo. Assim, para o circuito da Figura 5(a) a corrente total depende apenas do valor de $V_{CC}$ e $R_1$. Não havendo mudanças nesses valores, também não haverá mudança no valor da intensidade de corrente, denotada $I_T$. A intensidade da corrente que flui da fonte é a mesma que atravessa a carga, com uma certa resistência e condutância.

Figura 5: Circuito em paralelo

Ao inserir outro ramo ao circuito, como mostrado na Figura 5(b), a intensidade da corrente no ramo de $R_1$ não é alterado, pois a tensão entre os pontos $A$ e $B$ não muda, bem como seu valor ôhmico, porém, a intensidade total da corrente muda, pois há agora um novo caminho, um novo ramo para circulação da corrente.

A mudança do circuito (a) para o (b), produz um novo caminho para a circulação da corrente. Pode-se dizer então que com a inclusão do novo ramo, conectado aos mesmos pontos do ramo já existente, há uma maior facilidade para a corrente fluir, pois agora são dois caminhos, aumentando a condutância entre os nós.

Pode-se obter a condutância total do circuito paralelo somando as condutâncias dos ramos, da seguinte forma: \(\begin{eqnarray} G_T & = & G_{R_1} + G_{R_2} \label{eqn:GT} \end{eqnarray}\) A forma mais comum é trabalhar com a resistência e não a condutância, então, substituindo a condutância pelo inverso da resistência pode-se obter a resistência total: \(\begin{eqnarray} \frac{1}{R_T} & = & \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \nonumber\\ \nonumber\\ R_T & = & \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } \label{eq:paralelo} \end{eqnarray}\)

Da mesma forma pode-se aplicar para circuitos com varios ramos em paralelo, basta somar as condutâncias: \(\begin{eqnarray} G_T & = & G_1 + G_2 + ... + G_n \end{eqnarray}\) Analogamente para a resistência total temos: \(\begin{eqnarray} \label{eq:nrparalelo} R_T & = & \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n} } \end{eqnarray}\)

Associação em Paralelo - Apenas 2 resistores

O cálculo de resistores em paralelo pode ser realizado manipulando a Equação da associação em paralelo da seguinte forma: \(\begin{eqnarray} G_{eq} & = & G_{R_1} + G_{R_2} \nonumber\\ \nonumber\\ \frac{1}{R_{eq}} & = & \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \nonumber\\ \nonumber\\ \frac{1}{R_{eq}} & = & \frac{R_1 + R_2}{R_1.R_2} \nonumber\\ \nonumber\\ R_{eq} & = & \frac{R_1.R_2}{R_1 + R_2} \nonumber \end{eqnarray}\) Atenção! Essa forma só é válida para a associação de dois resistôres.

Associação resistores em paralelo - Todos iguais

Outra forma particular para calcular resistência equivalente é quanto os resistores em paralelo são todos de mesmo valor, então o cálculo pode ser realizado manipulado a Equação da condutância equivalente da seguinte forma:

Dados os seguintes resistores em paralelo e nomeados sequencialmente: $R_1$ = $R_2$ = … = $R_n$. \(\begin{eqnarray} G_{eq} & = & G_1 + G_2 + ... + G_n \nonumber\\ \nonumber\\ \frac{1}{R_{eq}} & = & \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}\nonumber\\ \nonumber\\ \frac{1}{R_{eq}} & = & n.\frac{1}{R} \nonumber\\ \nonumber\\ \frac{1}{R_{eq}} & = & \frac{n}{R} \nonumber\\ \nonumber\\ \frac{R_{eq}}{1} & = & \frac{R}{n} \nonumber\\ \nonumber\\ R_{eq} & = & \frac{R}{n} \end{eqnarray}\) Atenção! Essa forma só é válida para a associação de resistôres iguais.

Leis de Kirchhoff

A primeira lei de Kirchhoff fala sobre as correntes em um nó, por isso é comum ser chamada de lei dos nós, enquanto que a segunda lei de Kirchhoff fala sobre as tensões em uma malha, sendo assim a lei das malhas.

1ª Lei de Kirchhoff

A soma das correntes em um nó é igual a zero.

Figura 6: Circuito em paralelo

A Figura 6 mostra o sentido convencional da corrente nos dois nós do circuito.

Tendo um nó como referência, adota-se uma convenção para o sentido da corrente. Assim, a corrente que chega ao nó é anotada como positiva e a corrente que sai é negativa. O oposto também pode ser adotado.

Escrevendo, pela definição, a equação para o nó $A$ temos: \(\begin{eqnarray} \label{eq:1kirchhoff} (+I_T) + (-I_1) + (-I_2) & = & 0\\ I_T - I_1 - I_2 & = & 0 \nonumber\\ I_T = I_1 + I_2 \end{eqnarray}\) Da mesma forma para o nó $B$: \(\begin{eqnarray} (-I_T) + (+I_1) + (+I_2) & = & 0 \nonumber\\ I_1 + I_2 & = & I_T \nonumber \end{eqnarray}\)

2ª Lei de Kirchhoff

A Figura 7 mostra os dois ramos que formam o circuito em série. A limitação dos ramos são os nós $A$ e $B$, cuja diferença de potencial é proporcionada pelo ramo da fonte, tensão gerada. Essa diferença de potencial, é aplicada ao ramo que contém os resistores, $R_1$ e $R_2$, que dividem essa tensão em valores parciais, denominados de queda de tensão.

Figura 7: Circuito em Série

A segunda lei de Kirchhoff diz que: A soma das tensões (ou quedas de tensão) em uma malha é igual a zero.

Adotando um ponto como referencia de partida, por exemplo o ponto $A$, percorre-se no sentido da corrente, por todo circuito até retornar ao ponto de partida. Ao encontrar uma indicação de tensão no mesmo sentido, adota-o como valor positivo, e no sentido contrário, adota-o como negativo.

Assim, pode-se representar a equação da malha pela definição da seguinte forma: \(\begin{eqnarray} (-V_{R1}) + (-V_{R2}) + (V_{CC}) & = & 0 \\ -V_{R1} - V_{R2} + V_{CC} & = & 0 \nonumber\\ V_{CC} & = & V_{R1} + V_{R2} \end{eqnarray}\)

Sabemos que em um ramo cada resistor apresenta uma parcela proporcional da resistência total, pois a soma dessas parcelas é a própria resistência total. \(\begin{eqnarray} R_1 + R_2 = R_{T_{ramo}} \end{eqnarray}\) Temos que $R_{T_{ramo}}$ é a resistência total do ramo e é formada por duas partes, $R_1$ e $R_2$, somados. Assim cada resistor é uma parte da resistência total do ramo, um parte do todo.

Sabemos que a parte dividida pelo todo é uma relação de proporcionalidade e que a queda de tensão em cada resistor do ramo é proporcional a sua resistência em relação a resistência total, assim temos que: \(\begin{eqnarray} \frac{R_1}{R_2+R_1} & = & \frac{V_{R1}}{V_{R2}+V_{R1}}\\ \nonumber\\ V_{AB} & = & V_{R1} + V_{R2} \\ \nonumber\\ \frac{R_1}{R_2+R_1} & = & \frac{V_{R1}}{V_{AB}} \end{eqnarray}\) Isolando-se $V_{R1}$ temos: \(\begin{eqnarray} V_{R1} & = & \frac{R_1}{R_2 + R_1} . V_{AB} \end{eqnarray}\) Iguanlmente para $V_{R2}$: \(\begin{eqnarray} V_{R2} & = & \frac{R_2}{R_2 + R_1} . V_{AB} \end{eqnarray}\)

Atividades

Calcular a resistência equivatente total dos circuitos.

Circuito 1

Dados: $R_1 = 1k2\Omega$, $R_2 = 300\Omega$ e $R_3 = 120\Omega$.

Circuito 2

Dados: $R_1 = 2k7\Omega$, $R_2 = 24k\Omega$, $R_3 = 3k3\Omega$ e $R_4 = 200\Omega$.

Circuito 3

Dados: $R_1 = 100\Omega$, $R_2 = 100\Omega$, $R_3 = 100\Omega$, $R_4 = 300\Omega$, $R_5 = 200\Omega$, $R_6 = 100\Omega$, e $R_7 = 100\Omega$.

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